Datrys {l}{2=3k_{2}+k_{1}}{10=4k_{2}-2k_{1}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 = 3 k _ { 2 } + k _ { 1 } } \\ { 10 = 4 k _ { 2 } - 2 k _ { 1 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer k_2, k_1

$$k_{2} = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$k_{1} = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3k_{2}+k_{1}=2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$4k_{2}-2k_{1}=10$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3k_{2}+k_{1}=2,4k_{2}-2k_{1}=10$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer k_{2} drwy ynysu k_{2} ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3k_{2}+k_{1}=2$$

Tynnu k_{1} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3k_{2}=-k_{1}+2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$k_{2}=\frac{1}{3}\left(-k_{1}+2\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -k_{1}+2.

$$k_{2}=-\frac{1}{3}k_{1}+\frac{2}{3}$$

Amnewid \frac{-k_{1}+2}{3} am k_{2} yn yr hafaliad arall, 4k_{2}-2k_{1}=10.

$$4\left(-\frac{1}{3}k_{1}+\frac{2}{3}\right)-2k_{1}=10$$

Lluoswch 4 â \frac{-k_{1}+2}{3}.

$$-\frac{4}{3}k_{1}+\frac{8}{3}-2k_{1}=10$$

Adio -\frac{4k_{1}}{3} at -2k_{1}.

$$-\frac{10}{3}k_{1}+\frac{8}{3}=10$$

Tynnu \frac{8}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{10}{3}k_{1}=\frac{22}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{10}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$k_{1}=-\frac{11}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{5} am k_{1} yn k_{2}=-\frac{1}{3}k_{1}+\frac{2}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer k_{2} yn uniongyrchol.

$$k_{2}=-\frac{1}{3}\left(-\frac{11}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â -\frac{11}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k_{2}=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Adio \frac{2}{3} at \frac{11}{15} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$k_{2}=\frac{7}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k_{2}=\frac{7}{5},k_{1}=-\frac{11}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3k_{2}+k_{1}=2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$4k_{2}-2k_{1}=10$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3k_{2}+k_{1}=2,4k_{2}-2k_{1}=10$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\4&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\\frac{2}{5}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 2+\frac{1}{10}\times 10\\\frac{2}{5}\times 2-\frac{3}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}k_{2}\\k_{1}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics k_{2} a k_{1}.

$$k_{2}=\frac{7}{5},k_{1}=-\frac{11}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$3k_{2}+k_{1}=2$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Cyfnewidiwch yr ochrau fel bod yr holl dermau newidiol ar yr ochr chwith.

$$4k_{2}-2k_{1}=10$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3k_{2}+k_{1}=2,4k_{2}-2k_{1}=10$$

I wneud 3k_{2} a 4k_{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3k_{2}+4k_{1}=4\times 2,3\times 4k_{2}+3\left(-2\right)k_{1}=3\times 10$$

Symleiddio.

$$12k_{2}+4k_{1}=8,12k_{2}-6k_{1}=30$$

Tynnwch 12k_{2}-6k_{1}=30 o 12k_{2}+4k_{1}=8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12k_{2}-12k_{2}+4k_{1}+6k_{1}=8-30$$

Adio 12k_{2} at -12k_{2}. Mae'r termau 12k_{2} a -12k_{2} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4k_{1}+6k_{1}=8-30$$

Adio 4k_{1} at 6k_{1}.

$$10k_{1}=8-30$$

Adio 8 at -30.

$$10k_{1}=-22$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$k_{1}=-\frac{11}{5}$$

Cyfnewidiwch -\frac{11}{5} am k_{1} yn 4k_{2}-2k_{1}=10. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer k_{2} yn uniongyrchol.

$$4k_{2}-2\left(-\frac{11}{5}\right)=10$$

Lluoswch -2 â -\frac{11}{5}.

$$4k_{2}+\frac{22}{5}=10$$

Tynnu \frac{22}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4k_{2}=\frac{28}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$k_{2}=\frac{7}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$k_{2}=\frac{7}{5},k_{1}=-\frac{11}{5}$$