Datrys {l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer m, n

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer m drwy ynysu m ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$16m+50n=55$$

Tynnu 50n o ddwy ochr yr hafaliad.

$$16m=-50n+55$$

Rhannu’r ddwy ochr â 16.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

Lluoswch \frac{1}{16} â -50n+55.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

Amnewid -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16} am m yn yr hafaliad arall, 2m+4n=5.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

Lluoswch 2 â -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

Adio -\frac{25n}{4} at 4n.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

Tynnu \frac{55}{8} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{9}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$n=\frac{5}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{6} am n yn m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

Lluoswch -\frac{25}{8} â \frac{5}{6} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

Adio \frac{55}{16} at -\frac{125}{48} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$m=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics m a n.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

I wneud 16m a 2m yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 16.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

Symleiddio.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

Tynnwch 32m+64n=80 o 32m+100n=110 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

Adio 32m at -32m. Mae'r termau 32m a -32m yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$100n-64n=110-80$$

Adio 100n at -64n.

$$36n=110-80$$

Adio 110 at -80.

$$36n=30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 36.

$$n=\frac{5}{6}$$

Cyfnewidiwch \frac{5}{6} am n yn 2m+4n=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer m yn uniongyrchol.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

Lluoswch 4 â \frac{5}{6}.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

Tynnu \frac{10}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2m=\frac{5}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$m=\frac{5}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$