Datrys {l}{125x+110y=6100}{x+y=50}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 125 x + 110 y = 6100 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=40$$

$$y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$125x+110y=6100$$

Tynnu 110y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$125x=-110y+6100$$

Rhannu’r ddwy ochr â 125.

$$x=\frac{1}{125}\left(-110y+6100\right)$$

Lluoswch \frac{1}{125} â -110y+6100.

$$x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}$$

Amnewid -\frac{22y}{25}+\frac{244}{5} am x yn yr hafaliad arall, x+y=50.

$$-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}+y=50$$

Adio -\frac{22y}{25} at y.

$$\frac{3}{25}y+\frac{244}{5}=50$$

Tynnu \frac{244}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{3}{25}y=\frac{6}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{3}{25}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x=-\frac{22}{25}y+\frac{244}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{22}{25}\times 10+\frac{244}{5}$$

Lluoswch -\frac{22}{25} â 10.

$$x=\frac{-44+244}{5}$$

Adio \frac{244}{5} at -\frac{44}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=40$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=40,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}125&110\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{125-110}&-\frac{110}{125-110}\\-\frac{1}{125-110}&\frac{125}{125-110}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{22}{3}\\-\frac{1}{15}&\frac{25}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6100\\50\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 6100-\frac{22}{3}\times 50\\-\frac{1}{15}\times 6100+\frac{25}{3}\times 50\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=40,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$125x+110y=6100,x+y=50$$

I wneud 125x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 125.

$$125x+110y=6100,125x+125y=125\times 50$$

Symleiddio.

$$125x+110y=6100,125x+125y=6250$$

Tynnwch 125x+125y=6250 o 125x+110y=6100 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$125x-125x+110y-125y=6100-6250$$

Adio 125x at -125x. Mae'r termau 125x a -125x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$110y-125y=6100-6250$$

Adio 110y at -125y.

$$-15y=6100-6250$$

Adio 6100 at -6250.

$$-15y=-150$$

Rhannu’r ddwy ochr â -15.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x+y=50. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+10=50$$

Tynnu 10 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=40$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=40,y=10$$