Datrys {l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$11x+19y=25$$

Tynnu 19y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$11x=-19y+25$$

Rhannu’r ddwy ochr â 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

Lluoswch \frac{1}{11} â -19y+25.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

Amnewid \frac{-19y+25}{11} am x yn yr hafaliad arall, 19x+11y=15.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

Lluoswch 19 â \frac{-19y+25}{11}.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

Adio -\frac{361y}{11} at 11y.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

Tynnu \frac{475}{11} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{240}{11}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{31}{24}$$

Cyfnewidiwch \frac{31}{24} am y yn x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

Lluoswch -\frac{19}{11} â \frac{31}{24} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

Adio \frac{25}{11} at -\frac{589}{264} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{1}{24}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

I wneud 11x a 19x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 19 a holl dermau naill ochr yr ail â 11.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

Symleiddio.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

Tynnwch 209x+121y=165 o 209x+361y=475 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

Adio 209x at -209x. Mae'r termau 209x a -209x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$361y-121y=475-165$$

Adio 361y at -121y.

$$240y=475-165$$

Adio 475 at -165.

$$240y=310$$

Rhannu’r ddwy ochr â 240.

$$y=\frac{31}{24}$$

Cyfnewidiwch \frac{31}{24} am y yn 19x+11y=15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

Lluoswch 11 â \frac{31}{24}.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

Tynnu \frac{341}{24} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$19x=\frac{19}{24}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 19.

$$x=\frac{1}{24}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$