Datrys {l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$10x+y-6y=5$$

Cyfuno y a -6y i gael -5y.

$$10x-5y=5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$10y+x-10x=y+27$$

Cyfuno x a -10x i gael -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$10y-9x-y=27$$

Cyfuno 10y a -y i gael 9y.

$$9y-9x=27$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$10x-5y=5$$

Adio 5y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$10x=5y+5$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

Lluoswch \frac{1}{10} â 5+5y.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Amnewid \frac{1+y}{2} am x yn yr hafaliad arall, -9x+9y=27.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

Lluoswch -9 â \frac{1+y}{2}.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

Adio -\frac{9y}{2} at 9y.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

Adio \frac{9}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{9}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 7.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

Adio \frac{1}{2} at \frac{7}{2} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$10x+y-6y=5$$

Cyfuno y a -6y i gael -5y.

$$10x-5y=5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$10y+x-10x=y+27$$

Cyfuno x a -10x i gael -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$10y-9x-y=27$$

Cyfuno 10y a -y i gael 9y.

$$9y-9x=27$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=7$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Tynnu 6y o'r ddwy ochr.

$$10x+y-6y=5$$

Cyfuno y a -6y i gael -5y.

$$10x-5y=5$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$10y+x-10x=y+27$$

Cyfuno x a -10x i gael -9x.

$$10y-9x=y+27$$

Tynnu y o'r ddwy ochr.

$$10y-9x-y=27$$

Cyfuno 10y a -y i gael 9y.

$$9y-9x=27$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

I wneud 10x a -9x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -9 a holl dermau naill ochr yr ail â 10.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

Symleiddio.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

Tynnwch -90x+90y=270 o -90x+45y=-45 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

Adio -90x at 90x. Mae'r termau -90x a 90x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$45y-90y=-45-270$$

Adio 45y at -90y.

$$-45y=-45-270$$

Adio -45 at -270.

$$-45y=-315$$

Rhannu’r ddwy ochr â -45.

$$y=7$$

Cyfnewidiwch 7 am y yn -9x+9y=27. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-9x+9\times 7=27$$

Lluoswch 9 â 7.

$$-9x+63=27$$

Tynnu 63 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-9x=-36$$

Rhannu’r ddwy ochr â -9.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=7$$