Datrys {l}{1.5x-3.5y=-5}{-1.2x+2.5y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 1.5 x - 3.5 y = - 5 } \\ { - 1.2 x + 2.5 y = 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=20$$

$$y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$1.5x-3.5y=-5$$

Adio \frac{7y}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$1.5x=3.5y-5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.5, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{2}{3}\left(3.5y-5\right)$$

Lluoswch \frac{2}{3} â \frac{7y}{2}-5.

$$x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}$$

Amnewid \frac{7y-10}{3} am x yn yr hafaliad arall, -1.2x+2.5y=1.

$$-1.2\left(\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}\right)+2.5y=1$$

Lluoswch -1.2 â \frac{7y-10}{3}.

$$-2.8y+4+2.5y=1$$

Adio -\frac{14y}{5} at \frac{5y}{2}.

$$-0.3y+4=1$$

Tynnu 4 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-0.3y=-3$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.3, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn x=\frac{7}{3}y-\frac{10}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{3}\times 10-\frac{10}{3}$$

Lluoswch \frac{7}{3} â 10.

$$x=\frac{70-10}{3}$$

Adio -\frac{10}{3} at \frac{70}{3} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1.5&-3.5\\-1.2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&-\frac{-3.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\\-\frac{-1.2}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}&\frac{1.5}{1.5\times 2.5-\left(-3.5\left(-1.2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}&-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{50}{9}\left(-5\right)-\frac{70}{9}\\-\frac{8}{3}\left(-5\right)-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\10\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=20,y=10$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$1.5x-3.5y=-5,-1.2x+2.5y=1$$

I wneud \frac{3x}{2} a -\frac{6x}{5} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1.2 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.5.

$$-1.2\times 1.5x-1.2\left(-3.5\right)y=-1.2\left(-5\right),1.5\left(-1.2\right)x+1.5\times 2.5y=1.5$$

Symleiddio.

$$-1.8x+4.2y=6,-1.8x+3.75y=1.5$$

Tynnwch -1.8x+3.75y=1.5 o -1.8x+4.2y=6 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-1.8x+1.8x+4.2y-3.75y=6-1.5$$

Adio -\frac{9x}{5} at \frac{9x}{5}. Mae'r termau -\frac{9x}{5} a \frac{9x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$4.2y-3.75y=6-1.5$$

Adio \frac{21y}{5} at -\frac{15y}{4}.

$$0.45y=6-1.5$$

Adio 6 at -1.5.

$$0.45y=4.5$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.45, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=10$$

Cyfnewidiwch 10 am y yn -1.2x+2.5y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-1.2x+2.5\times 10=1$$

Lluoswch 2.5 â 10.

$$-1.2x+25=1$$

Tynnu 25 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-1.2x=-24$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -1.2, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=20$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=20,y=10$$