Datrys {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.5x+0.7y=35$$

Tynnu \frac{7y}{10} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Lluoswch 2 â -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Amnewid -\frac{7y}{5}+70 am x yn yr hafaliad arall, x+0.4y=40.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Adio -\frac{7y}{5} at \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Tynnu 70 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn x=-1.4y+70. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Lluoswch -1.4 â 30.

$$x=-42+70$$

Adio 70 at -42.

$$x=28$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=28,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=28,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

I wneud \frac{x}{2} a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.5.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Symleiddio.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Tynnwch 0.5x+0.2y=20 o 0.5x+0.7y=35 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Adio \frac{x}{2} at -\frac{x}{2}. Mae'r termau \frac{x}{2} a -\frac{x}{2} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Adio \frac{7y}{10} at -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Adio 35 at -20.

$$0.5y=15$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn x+0.4y=40. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x+0.4\times 30=40$$

Lluoswch 0.4 â 30.

$$x+12=40$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=28$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=28,y=30$$