Datrys {l}{0.3x-0.5y=29}{0.9x=0.2y+19}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x - 0.5 y = 29 } \\ { 0.9 x = 0.2 y + 19 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{370}{39} = 9\frac{19}{39} \approx 9.487179487$$

$$y = -\frac{680}{13} = -52\frac{4}{13} \approx -52.307692308$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 0.2y o'r ddwy ochr.

$$0.9x-0.2y=19$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.3x-0.5y=29$$

Adio \frac{y}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.3x=0.5y+29$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.3, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{10}{3}\left(0.5y+29\right)$$

Lluoswch \frac{10}{3} â \frac{y}{2}+29.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}$$

Amnewid \frac{5y+290}{3} am x yn yr hafaliad arall, 0.9x-0.2y=19.

$$0.9\left(\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}\right)-0.2y=19$$

Lluoswch 0.9 â \frac{5y+290}{3}.

$$1.5y+87-0.2y=19$$

Adio \frac{3y}{2} at -\frac{y}{5}.

$$1.3y+87=19$$

Tynnu 87 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$1.3y=-68$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 1.3, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{680}{13} am y yn x=\frac{5}{3}y+\frac{290}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{680}{13}\right)+\frac{290}{3}$$

Lluoswch \frac{5}{3} â -\frac{680}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{3400}{39}+\frac{290}{3}$$

Adio \frac{290}{3} at -\frac{3400}{39} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{370}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 0.2y o'r ddwy ochr.

$$0.9x-0.2y=19$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&-0.5\\0.9&-0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.2}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&-\frac{-0.5}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\\-\frac{0.9}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.2\right)-\left(-0.5\times 0.9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}&\frac{50}{39}\\-\frac{30}{13}&\frac{10}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\19\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{20}{39}\times 29+\frac{50}{39}\times 19\\-\frac{30}{13}\times 29+\frac{10}{13}\times 19\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{370}{39}\\-\frac{680}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 0.2y o'r ddwy ochr.

$$0.9x-0.2y=19$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.3x-0.5y=29,0.9x-0.2y=19$$

I wneud \frac{3x}{10} a \frac{9x}{10} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.9 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.3.

$$0.9\times 0.3x+0.9\left(-0.5\right)y=0.9\times 29,0.3\times 0.9x+0.3\left(-0.2\right)y=0.3\times 19$$

Symleiddio.

$$0.27x-0.45y=26.1,0.27x-0.06y=5.7$$

Tynnwch 0.27x-0.06y=5.7 o 0.27x-0.45y=26.1 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.27x-0.27x-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Adio \frac{27x}{100} at -\frac{27x}{100}. Mae'r termau \frac{27x}{100} a -\frac{27x}{100} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-0.45y+0.06y=\frac{261-57}{10}$$

Adio -\frac{9y}{20} at \frac{3y}{50}.

$$-0.39y=\frac{261-57}{10}$$

Adio 26.1 at -5.7 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$-0.39y=20.4$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -0.39, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=-\frac{680}{13}$$

Cyfnewidiwch -\frac{680}{13} am y yn 0.9x-0.2y=19. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$0.9x-0.2\left(-\frac{680}{13}\right)=19$$

Lluoswch -0.2 â -\frac{680}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.9x+\frac{136}{13}=19$$

Tynnu \frac{136}{13} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.9x=\frac{111}{13}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.9, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{370}{39}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{370}{39},y=-\frac{680}{13}$$