Datrys {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer r, t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer r drwy ynysu r ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

Tynnu \frac{t}{50} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.07, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

Lluoswch \frac{100}{7} â -\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

Amnewid \frac{-2t+16}{7} am r yn yr hafaliad arall, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

Lluoswch 0.05 â \frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

Adio -\frac{t}{70} at -\frac{3t}{100}.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

Tynnu \frac{4}{35} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{31}{700}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Cyfnewidiwch -\frac{67}{31} am t yn r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer r yn uniongyrchol.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

Lluoswch -\frac{2}{7} â -\frac{67}{31} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

Adio \frac{16}{7} at \frac{134}{217} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$r=\frac{90}{31}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics r a t.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

I wneud \frac{7r}{100} a \frac{r}{20} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 0.05 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.07.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

Symleiddio.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

Tynnwch 0.0035r-0.0021t=0.0147 o 0.0035r+0.001t=0.008 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Adio \frac{7r}{2000} at -\frac{7r}{2000}. Mae'r termau \frac{7r}{2000} a -\frac{7r}{2000} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Adio \frac{t}{1000} at \frac{21t}{10000}.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

Adio 0.008 at -0.0147 drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.0031t=-0.0067$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.0031, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Cyfnewidiwch -\frac{67}{31} am t yn 0.05r-0.03t=0.21. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer r yn uniongyrchol.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

Lluoswch -0.03 â -\frac{67}{31} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

Tynnu \frac{201}{3100} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 20.

$$r=\frac{90}{31}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$