Datrys {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{130}{43} = 3\frac{1}{43} \approx 3.023255814$$

$$y = \frac{391}{43} = 9\frac{4}{43} \approx 9.093023256$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$0.6x+2y=20$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$0.6x=-2y+20$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â 0.6, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Lluoswch \frac{5}{3} â -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Amnewid \frac{-10y+100}{3} am x yn yr hafaliad arall, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Lluoswch -4 â \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Adio \frac{40y}{3} at y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Adio -\frac{400}{3} at 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Adio \frac{394}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{43}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{391}{43}$$

Cyfnewidiwch \frac{391}{43} am y yn x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Lluoswch -\frac{10}{3} â \frac{391}{43} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Adio \frac{100}{3} at -\frac{3910}{129} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{130}{43}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0.6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0.6-2\left(-4\right)}&\frac{0.6}{0.6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$0.6x+2y=20,-4x+y+2=-1$$

I wneud \frac{3x}{5} a -4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â 0.6.

$$-4\times 0.6x-4\times 2y=-4\times 20,0.6\left(-4\right)x+0.6y+0.6\times 2=0.6\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$-2.4x-8y=-80,-2.4x+0.6y+1.2=-0.6$$

Tynnwch -2.4x+0.6y+1.2=-0.6 o -2.4x-8y=-80 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2.4x+2.4x-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Adio -\frac{12x}{5} at \frac{12x}{5}. Mae'r termau -\frac{12x}{5} a \frac{12x}{5} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y-0.6y-1.2=-80+0.6$$

Adio -8y at -\frac{3y}{5}.

$$-8.6y-1.2=-80+0.6$$

Adio -80 at 0.6.

$$-8.6y-1.2=-79.4$$

Adio 1.2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8.6y=-78.2$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -8.6, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{391}{43}$$

Cyfnewidiwch \frac{391}{43} am y yn -4x+y+2=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Adio \frac{391}{43} at 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Tynnu \frac{477}{43} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{130}{43},y=\frac{391}{43}$$