Datrys {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-8x+4y=24$$

Tynnu 4y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-8x=-4y+24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{8} â -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Amnewid \frac{y}{2}-3 am x yn yr hafaliad arall, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Lluoswch -7 â \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Adio -\frac{7y}{2} at 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Tynnu 21 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{7}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn x=\frac{1}{2}y-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Lluoswch \frac{1}{2} â 2.

$$x=1-3$$

Adio -3 at 1.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

I wneud -8x a -7x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -7 a holl dermau naill ochr yr ail â -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Symleiddio.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Tynnwch 56x-56y=-224 o 56x-28y=-168 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Adio 56x at -56x. Mae'r termau 56x a -56x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-28y+56y=-168+224$$

Adio -28y at 56y.

$$28y=-168+224$$

Adio -168 at 224.

$$28y=56$$

Rhannu’r ddwy ochr â 28.

$$y=2$$

Cyfnewidiwch 2 am y yn -7x+7y=28. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-7x+7\times 2=28$$

Lluoswch 7 â 2.

$$-7x+14=28$$

Tynnu 14 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7x=14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=2$$