Datrys {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$5y-10x=-15$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-5x+y=-12$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-5x=-y-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Amnewid \frac{12+y}{5} am x yn yr hafaliad arall, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Lluoswch -10 â \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Adio -2y at 5y.

$$3y-24=-15$$

Adio 24 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3y=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Adio \frac{12}{5} at \frac{3}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$5y-10x=-15$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu 10x o'r ddwy ochr.

$$5y-10x=-15$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

I wneud -5x a -10x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -10 a holl dermau naill ochr yr ail â -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Symleiddio.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Tynnwch 50x-25y=75 o 50x-10y=120 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Adio 50x at -50x. Mae'r termau 50x a -50x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-10y+25y=120-75$$

Adio -10y at 25y.

$$15y=120-75$$

Adio 120 at -75.

$$15y=45$$

Rhannu’r ddwy ochr â 15.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn -10x+5y=-15. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Lluoswch 5 â 3.

$$-10x+15=-15$$

Tynnu 15 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10x=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=3$$