Datrys {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-10x+3y=-2$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-10x=-3y-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{10} â -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

Amnewid \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} am x yn yr hafaliad arall, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

Lluoswch 4 â \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Adio \frac{6y}{5} at -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Tynnu \frac{4}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 5.

$$y=36$$

Cyfnewidiwch 36 am y yn x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{10} â 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Adio \frac{1}{5} at \frac{54}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=11$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11,y=36$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=11,y=36$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

I wneud -10x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â -10.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Symleiddio.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

Tynnwch -40x+10y=-80 o -40x+12y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

Adio -40x at 40x. Mae'r termau -40x a 40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$12y-10y=-8+80$$

Adio 12y at -10y.

$$2y=-8+80$$

Adio -8 at 80.

$$2y=72$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=36$$

Cyfnewidiwch 36 am y yn 4x-y=8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-36=8$$

Adio 36 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=44$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=11$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11,y=36$$