Datrys {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. I ddod o hyd i wrthwyneb -x-y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Cyfuno y a -4y i gael -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Lluosi -1 a -1 i gael 1.

$$x-3y+4x=8$$

Cyfuno x a 4x i gael 5x.

$$5x-3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Adio -1 a 6 i gael 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Tynnu 5 o 5 i gael 0.

$$3x+2y=20$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-3y=8$$

Adio 3y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=3y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Amnewid \frac{3y+8}{5} am x yn yr hafaliad arall, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Lluoswch 3 â \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Adio \frac{9y}{5} at 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Tynnu \frac{24}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{19}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Lluoswch \frac{3}{5} â 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Adio \frac{8}{5} at \frac{12}{5} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. I ddod o hyd i wrthwyneb -x-y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Cyfuno y a -4y i gael -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Lluosi -1 a -1 i gael 1.

$$x-3y+4x=8$$

Cyfuno x a 4x i gael 5x.

$$5x-3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Adio -1 a 6 i gael 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Tynnu 5 o 5 i gael 0.

$$3x+2y=20$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=4,y=4$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. I ddod o hyd i wrthwyneb -x-y, dewch o hyd i wrthwyneb pob term.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Cyfuno y a -4y i gael -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Lluosi -1 a -1 i gael 1.

$$x-3y+4x=8$$

Cyfuno x a 4x i gael 5x.

$$5x-3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Adio -1 a 6 i gael 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Tynnu 5 o 5 i gael 0.

$$3x+2y=20$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Symleiddio.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Tynnwch 15x+10y=100 o 15x-9y=24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-9y-10y=24-100$$

Adio -9y at -10y.

$$-19y=24-100$$

Adio 24 at -100.

$$-19y=-76$$

Rhannu’r ddwy ochr â -19.

$$y=4$$

Cyfnewidiwch 4 am y yn 3x+2y=20. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x+2\times 4=20$$

Lluoswch 2 â 4.

$$3x+8=20$$

Tynnu 8 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=4$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=4,y=4$$