Datrys {l}{(a+2012)-2(b-2013)=3}{3(a+2012)+4(b-2013)=5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( a + 2012 ) - 2 ( b - 2013 ) = 3 } \\ { 3 ( a + 2012 ) + 4 ( b - 2013 ) = 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a = -\frac{10049}{5} = -2009\frac{4}{5} = -2009.8$$

$$b = \frac{10063}{5} = 2012\frac{3}{5} = 2012.6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Lluoswch -2 â b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Adio 4026 at 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Tynnu 6038 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a-2b=-6035$$

Adio 2b at ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=2b-6035$$

Amnewid 2b-6035 am a yn yr hafaliad arall, 3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5.

$$3\left(2b-6035+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Adio -6035 at 2012.

$$3\left(2b-4023\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Lluoswch 3 â 2b-4023.

$$6b-12069+4\left(b-2013\right)=5$$

Lluoswch 4 â b-2013.

$$6b-12069+4b-8052=5$$

Adio 6b at 4b.

$$10b-12069-8052=5$$

Adio -12069 at -8052.

$$10b-20121=5$$

Adio 20121 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$10b=20126$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$b=\frac{10063}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{10063}{5} am b yn a=2b-6035. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=2\times \frac{10063}{5}-6035$$

Lluoswch 2 â \frac{10063}{5}.

$$a=\frac{20126}{5}-6035$$

Adio -6035 at \frac{20126}{5}.

$$a=-\frac{10049}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3,3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Symleiddio'r hafaliad cyntaf i'w roi yn y ffurf safonol.

$$a-2\left(b-2013\right)+2012=3$$

Lluoswch -2 â b-2013.

$$a-2b+4026+2012=3$$

Adio 4026 at 2012.

$$a-2b+6038=3$$

Tynnu 6038 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$a-2b=-6035$$

Symleiddio'r ail hafaliad i’w roi yn y ffurf safonol.

$$3\left(a+2012\right)+4\left(b-2013\right)=5$$

Lluoswch 3 â a+2012.

$$3a+6036+4\left(b-2013\right)=5$$

Lluoswch 4 â b-2013.

$$3a+6036+4b-8052=5$$

Adio 6036 at -8052.

$$3a+4b-2016=5$$

Adio 2016 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3a+4b=2021$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6035\\2021\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-6035\right)+\frac{1}{5}\times 2021\\-\frac{3}{10}\left(-6035\right)+\frac{1}{10}\times 2021\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10049}{5}\\\frac{10063}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=-\frac{10049}{5},b=\frac{10063}{5}$$