Datrys {l}{(A+B)1/2-B=3/4}{(2A+B)1/4-B=5/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( A + B ) \frac { 1 } { 2 } - B = \frac { 3 } { 4 } } \\ { ( 2 A + B ) \frac { 1 } { 4 } - B = \frac { 5 } { 4 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer A, B

$$A=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$B=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{2}B a -B i gael -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{4}B a -B i gael -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer A drwy ynysu A ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Adio \frac{B}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}\right)$$

Lluoswch 2 â \frac{B}{2}+\frac{3}{4}.

$$A=B+\frac{3}{2}$$

Amnewid B+\frac{3}{2} am A yn yr hafaliad arall, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}.

$$\frac{1}{2}\left(B+\frac{3}{2}\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â B+\frac{3}{2}.

$$\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Adio \frac{B}{2} at -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$$

Tynnu \frac{3}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{1}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -4.

$$B=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am B yn A=B+\frac{3}{2}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$A=-2+\frac{3}{2}$$

Adio \frac{3}{2} at -2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{2}B a -B i gael -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{4}B a -B i gael -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\\4\times \frac{3}{4}-4\times \frac{5}{4}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics A a B.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi A+B â \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=\frac{3}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{2}B a -B i gael -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4}$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2A+B â \frac{1}{4}.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{4}$$

Cyfuno \frac{1}{4}B a -B i gael -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4},\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}$$

Tynnwch \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4} o \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=\frac{3}{4} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Adio \frac{A}{2} at -\frac{A}{2}. Mae'r termau \frac{A}{2} a -\frac{A}{2} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Adio -\frac{B}{2} at \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=\frac{3-5}{4}$$

Adio \frac{3}{4} at -\frac{5}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{1}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 4.

$$B=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am B yn \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer A yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-2\right)=\frac{5}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -2.

$$\frac{1}{2}A+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$$

Tynnu \frac{3}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}A=-\frac{1}{4}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$A=-\frac{1}{2}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$A=-\frac{1}{2},B=-2$$