Datrys {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3x-2y=-24$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$5x-6y=-120$$

Adio 6y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$5x=6y-120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Lluoswch \frac{1}{5} â -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Amnewid \frac{6y}{5}-24 am x yn yr hafaliad arall, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Lluoswch 3 â \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Adio \frac{18y}{5} at -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Adio 72 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{8}{5}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn x=\frac{6}{5}y-24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Lluoswch \frac{6}{5} â 30.

$$x=36-24$$

Adio -24 at 36.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=12,y=30$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 30, lluoswm cyffredin lleiaf 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

I wneud 5x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Symleiddio.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Tynnwch 15x-10y=-120 o 15x-18y=-360 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Adio 15x at -15x. Mae'r termau 15x a -15x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-18y+10y=-360+120$$

Adio -18y at 10y.

$$-8y=-360+120$$

Adio -360 at 120.

$$-8y=-240$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$y=30$$

Cyfnewidiwch 30 am y yn 3x-2y=-24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-2\times 30=-24$$

Lluoswch -2 â 30.

$$3x-60=-24$$

Adio 60 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=36$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=12$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=12,y=30$$