Datrys {l}{x/3+y/4=-7/12}{x/2+frac{y}{3}=-frac{1}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = - \frac { 7 } { 12 } } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=11$$

$$y=-17$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12}$$

Tynnu \frac{y}{4} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 3.

$$x=3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{7}{12}\right)$$

Lluoswch 3 â -\frac{y}{4}-\frac{7}{12}.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}$$

Amnewid \frac{-3y-7}{4} am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}.

$$\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Lluoswch \frac{1}{2} â \frac{-3y-7}{4}.

$$-\frac{3}{8}y-\frac{7}{8}+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Adio -\frac{3y}{8} at \frac{y}{3}.

$$-\frac{1}{24}y-\frac{7}{8}=-\frac{1}{6}$$

Adio \frac{7}{8} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{1}{24}y=\frac{17}{24}$$

Lluosi’r ddwy ochr â -24.

$$y=-17$$

Cyfnewidiwch -17 am y yn x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-17\right)-\frac{7}{4}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â -17.

$$x=\frac{51-7}{4}$$

Adio -\frac{7}{4} at \frac{51}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=11$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11,y=-17$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24&18\\36&-24\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\left(-\frac{7}{12}\right)+18\left(-\frac{1}{6}\right)\\36\left(-\frac{7}{12}\right)-24\left(-\frac{1}{6}\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-17\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=11,y=-17$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}y=-\frac{7}{12},\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}$$

I wneud \frac{x}{3} a \frac{x}{2} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â \frac{1}{2} a holl dermau naill ochr yr ail â \frac{1}{3}.

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}y=\frac{1}{2}\left(-\frac{7}{12}\right),\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}y=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{6}\right)$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24},\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18}$$

Tynnwch \frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y=-\frac{1}{18} o \frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y=-\frac{7}{24} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}x+\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Adio \frac{x}{6} at -\frac{x}{6}. Mae'r termau \frac{x}{6} a -\frac{x}{6} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{8}y-\frac{1}{9}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Adio \frac{y}{8} at -\frac{y}{9}.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{7}{24}+\frac{1}{18}$$

Adio -\frac{7}{24} at \frac{1}{18} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$\frac{1}{72}y=-\frac{17}{72}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 72.

$$y=-17$$

Cyfnewidiwch -17 am y yn \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-\frac{1}{6}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-17\right)=-\frac{1}{6}$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -17.

$$\frac{1}{2}x-\frac{17}{3}=-\frac{1}{6}$$

Adio \frac{17}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{2}x=\frac{11}{2}$$

Lluosi’r ddwy ochr â 2.

$$x=11$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=11,y=-17$$