Datrys {l}{x/3+y/4=2/2-6/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 } { 2 } - \frac { 6 } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{33}{13} = -2\frac{7}{13} \approx -2.538461538$$

$$y = \frac{44}{13} = 3\frac{5}{13} \approx 3.384615385$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gwnewch y gwaith lluosi.

$$4x+3y=12-12$$

Tynnu 12 o 12 i gael 0.

$$4x+3y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -10 â y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Cyfuno 4y a -10y i gael -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Cyfuno 5y a -2y i gael 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Cyfuno 5x a 2x i gael 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Adio -15 a 2 i gael -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Cyfuno -6y a -3y i gael -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x-9y=-13-20$$

Tynnu 20 o -13 i gael -33.

$$x-9y=-33$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x+3y=0$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=-3y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3\right)y$$

Lluoswch \frac{1}{4} â -3y.

$$x=-\frac{3}{4}y$$

Amnewid -\frac{3y}{4} am x yn yr hafaliad arall, x-9y=-33.

$$-\frac{3}{4}y-9y=-33$$

Adio -\frac{3y}{4} at -9y.

$$-\frac{39}{4}y=-33$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{39}{4}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{44}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{44}{13} am y yn x=-\frac{3}{4}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{44}{13}$$

Lluoswch -\frac{3}{4} â \frac{44}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gwnewch y gwaith lluosi.

$$4x+3y=12-12$$

Tynnu 12 o 12 i gael 0.

$$4x+3y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -10 â y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Cyfuno 4y a -10y i gael -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Cyfuno 5y a -2y i gael 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Cyfuno 5x a 2x i gael 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Adio -15 a 2 i gael -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Cyfuno -6y a -3y i gael -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x-9y=-13-20$$

Tynnu 20 o -13 i gael -33.

$$x-9y=-33$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-3}&-\frac{3}{4\left(-9\right)-3}\\-\frac{1}{4\left(-9\right)-3}&\frac{4}{4\left(-9\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{39}&-\frac{4}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-33\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\left(-33\right)\\-\frac{4}{39}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{33}{13}\\\frac{44}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\times 2-2\times 6$$

Gwnewch y gwaith lluosi.

$$4x+3y=12-12$$

Tynnu 12 o 12 i gael 0.

$$4x+3y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4 â 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -10 â y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Cyfuno 4y a -10y i gael -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Cyfuno 5y a -2y i gael 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Cyfuno 5x a 2x i gael 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Adio -15 a 2 i gael -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Tynnu 7x o'r ddwy ochr.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Cyfuno 8x a -7x i gael x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Tynnu 3y o'r ddwy ochr.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Cyfuno -6y a -3y i gael -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Tynnu 20 o'r ddwy ochr.

$$x-9y=-13-20$$

Tynnu 20 o -13 i gael -33.

$$x-9y=-33$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x+3y=0,x-9y=-33$$

I wneud 4x a x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$4x+3y=0,4x+4\left(-9\right)y=4\left(-33\right)$$

Symleiddio.

$$4x+3y=0,4x-36y=-132$$

Tynnwch 4x-36y=-132 o 4x+3y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$4x-4x+3y+36y=132$$

Adio 4x at -4x. Mae'r termau 4x a -4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$3y+36y=132$$

Adio 3y at 36y.

$$39y=132$$

Rhannu’r ddwy ochr â 39.

$$y=\frac{44}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{44}{13} am y yn x-9y=-33. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x-9\times \frac{44}{13}=-33$$

Lluoswch -9 â \frac{44}{13}.

$$x-\frac{396}{13}=-33$$

Adio \frac{396}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=-\frac{33}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{33}{13},y=\frac{44}{13}$$