Datrys {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Lluosi 1 a 2 i gael 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Adio 2 a 1 i gael 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$3x+y=9$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Lluosi 3 a 2 i gael 6.

$$6x-5y=-3$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+y=9$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-y+9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Amnewid -\frac{y}{3}+3 am x yn yr hafaliad arall, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Lluoswch 6 â -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Adio -2y at -5y.

$$-7y+18=-3$$

Tynnu 18 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-7y=-21$$

Rhannu’r ddwy ochr â -7.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-\frac{1}{3}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Lluoswch -\frac{1}{3} â 3.

$$x=-1+3$$

Adio 3 at -1.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Lluosi 1 a 2 i gael 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Adio 2 a 1 i gael 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$3x+y=9$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Lluosi 3 a 2 i gael 6.

$$6x-5y=-3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=2,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Lluosi 1 a 2 i gael 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Adio 2 a 1 i gael 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Lluosi 3 a 3 i gael 9.

$$3x+y=9$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Lluosi 3 a 2 i gael 6.

$$6x-5y=-3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

I wneud 3x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Tynnwch 18x-15y=-9 o 18x+6y=54 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y+15y=54+9$$

Adio 6y at 15y.

$$21y=54+9$$

Adio 54 at 9.

$$21y=63$$

Rhannu’r ddwy ochr â 21.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 6x-5y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-5\times 3=-3$$

Lluoswch -5 â 3.

$$6x-15=-3$$

Adio 15 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=2,y=3$$