Datrys {l}{x/2+y/3=13/2}{x/3-frac{y}{4}=frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 13 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=9$$

$$y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+2y=39$$

Tynnu 2y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-2y+39$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+39\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -2y+39.

$$x=-\frac{2}{3}y+13$$

Amnewid -\frac{2y}{3}+13 am x yn yr hafaliad arall, 4x-3y=18.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+13\right)-3y=18$$

Lluoswch 4 â -\frac{2y}{3}+13.

$$-\frac{8}{3}y+52-3y=18$$

Adio -\frac{8y}{3} at -3y.

$$-\frac{17}{3}y+52=18$$

Tynnu 52 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{17}{3}y=-34$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{17}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn x=-\frac{2}{3}y+13. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+13$$

Lluoswch -\frac{2}{3} â 6.

$$x=-4+13$$

Adio 13 at -4.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 39+\frac{2}{17}\times 18\\\frac{4}{17}\times 39-\frac{3}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=9,y=6$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

I wneud 3x a 4x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 4 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 39,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 18$$

Symleiddio.

$$12x+8y=156,12x-9y=54$$

Tynnwch 12x-9y=54 o 12x+8y=156 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$12x-12x+8y+9y=156-54$$

Adio 12x at -12x. Mae'r termau 12x a -12x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$8y+9y=156-54$$

Adio 8y at 9y.

$$17y=156-54$$

Adio 156 at -54.

$$17y=102$$

Rhannu’r ddwy ochr â 17.

$$y=6$$

Cyfnewidiwch 6 am y yn 4x-3y=18. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$4x-3\times 6=18$$

Lluoswch -3 â 6.

$$4x-18=18$$

Adio 18 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=36$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=9$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=9,y=6$$