Datrys {l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Cyfuno y a -3y i gael -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=6-2$$

Tynnu 2 o 6 i gael 4.

$$x-2y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$3x+4y-6x=-8$$

Cyfuno 3x a -6x i gael -3x.

$$-3x+4y=-8$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$x-2y=4$$

Adio 2y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=2y+4$$

Amnewid 4+2y am x yn yr hafaliad arall, -3x+4y=-8.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

Lluoswch -3 â 4+2y.

$$-6y-12+4y=-8$$

Adio -6y at 4y.

$$-2y-12=-8$$

Adio 12 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2y=4$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn x=2y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

Lluoswch 2 â -2.

$$x=-4+4$$

Adio 4 at -4.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Cyfuno y a -3y i gael -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=6-2$$

Tynnu 2 o 6 i gael 4.

$$x-2y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$3x+4y-6x=-8$$

Cyfuno 3x a -6x i gael -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=-2$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$x+y+2-3y=6$$

Cyfuno y a -3y i gael -2y.

$$x-2y+2=6$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$x-2y=6-2$$

Tynnu 2 o 6 i gael 4.

$$x-2y=4$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

Lluosi 2 a 2 i gael 4.

$$3x+4y=6x-8$$

Tynnu 6x o'r ddwy ochr.

$$3x+4y-6x=-8$$

Cyfuno 3x a -6x i gael -3x.

$$-3x+4y=-8$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

I wneud x a -3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -3 a holl dermau naill ochr yr ail â 1.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

Symleiddio.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

Tynnwch -3x+4y=-8 o -3x+6y=-12 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$6y-4y=-12+8$$

Adio 6y at -4y.

$$2y=-12+8$$

Adio -12 at 8.

$$2y=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=-2$$

Cyfnewidiwch -2 am y yn -3x+4y=-8. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

Lluoswch 4 â -2.

$$-3x-8=-8$$

Adio 8 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-3x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -3.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=-2$$