Datrys {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -5,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth y\left(y+5\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y â x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y+5 â x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tynnu yx o'r ddwy ochr.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Cyfuno yx a -yx i gael 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$2y-7y=5x+35$$

Cyfuno 2y a -7y i gael -5y.

$$-5y=5x+35$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{5} â 35+5x.

$$y=-x-7$$

Amnewid -x-7 am y yn yr hafaliad arall, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Lluoswch -4 â -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Adio 4x at 2x.

$$6x+28=-1$$

Tynnu 28 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=-29$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{29}{6} am x yn y=-x-7. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Lluoswch -1 â -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Adio -7 at \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -5,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth y\left(y+5\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y â x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y+5 â x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tynnu yx o'r ddwy ochr.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Cyfuno yx a -yx i gael 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$2y-7y=5x+35$$

Cyfuno 2y a -7y i gael -5y.

$$-5y=5x+35$$

Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$-5y-5x=35$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. All y newidyn y ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -5,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth y\left(y+5\right), lluoswm cyffredin lleiaf y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y â x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi y+5 â x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Tynnu yx o'r ddwy ochr.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Cyfuno yx a -yx i gael 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Tynnu 7y o'r ddwy ochr.

$$2y-7y=5x+35$$

Cyfuno 2y a -7y i gael -5y.

$$-5y=5x+35$$

Tynnu 5x o'r ddwy ochr.

$$-5y-5x=35$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

I wneud -5y a -4y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -4 a holl dermau naill ochr yr ail â -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Symleiddio.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Tynnwch 20y-10x=5 o 20y+20x=-140 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Adio 20y at -20y. Mae'r termau 20y a -20y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$20x+10x=-140-5$$

Adio 20x at 10x.

$$30x=-140-5$$

Adio -140 at -5.

$$30x=-145$$

Rhannu’r ddwy ochr â 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Cyfnewidiwch -\frac{29}{6} am x yn -4y+2x=-1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Lluoswch 2 â -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Adio \frac{29}{3} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$