Datrys {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 64 â \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Diddymwch y ffactor cyffredin mwyaf 4 yn 64 a 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer a drwy ynysu a ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

Tynnu 64\ln(2)b o ddwy ochr yr hafaliad.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

Rhannu’r ddwy ochr â 16.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

Lluoswch \frac{1}{16} â -64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

Amnewid -4\ln(2)b+2+4\ln(2) am a yn yr hafaliad arall, a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

Adio -4\ln(2)b at -2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

Tynnu 2+4\ln(2) o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4\ln(2)-2.

$$b=1$$

Cyfnewidiwch 1 am b yn a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

Adio 2+4\ln(2) at -4\ln(2).

$$a=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=2,b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 64 â \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Diddymwch y ffactor cyffredin mwyaf 4 yn 64 a 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics a a b.

$$a=2,b=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4, lluoswm cyffredin lleiaf 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Tynnu 2 o'r ddwy ochr.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Tynnu 2 o 4 i gael 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 64 â \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Diddymwch y ffactor cyffredin mwyaf 4 yn 64 a 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

I wneud 16a a a yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 1 a holl dermau naill ochr yr ail â 16.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

Symleiddio.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

Tynnwch 16a-32b=0 o 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Adio 16a at -16a. Mae'r termau 16a a -16a yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Adio 64\ln(2)b at 32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

Rhannu’r ddwy ochr â 32+64\ln(2).

$$b=1$$

Cyfnewidiwch 1 am b yn a-2b=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer a yn uniongyrchol.

$$a-2=0$$

Adio 2 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$a=2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$a=2,b=1$$