Datrys {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 40, lluoswm cyffredin lleiaf 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi 10 a 5 i gael 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 50 â x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi -4 a 3 i gael -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -12 â 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tynnu 12 o -150 i gael -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tynnu 7 o 4 i gael -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Ychwanegu 35x at y ddwy ochr.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Cyfuno 50x a 35x i gael 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Ychwanegu 35y at y ddwy ochr.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Cyfuno -24y a 35y i gael 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Ychwanegu 162 at y ddwy ochr.

$$85x+11y=-15+162$$

Adio -15 a 162 i gael 147.

$$85x+11y=147$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tynnu 35 o'r ddwy ochr.

$$6x-10y=21-35$$

Tynnu 35 o 21 i gael -14.

$$6x-10y=-14$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$85x+11y=147$$

Tynnu 11y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$85x=-11y+147$$

Rhannu’r ddwy ochr â 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Lluoswch \frac{1}{85} â -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Amnewid \frac{-11y+147}{85} am x yn yr hafaliad arall, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Lluoswch 6 â \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Adio -\frac{66y}{85} at -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Tynnu \frac{882}{85} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{916}{85}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{518}{229}$$

Cyfnewidiwch \frac{518}{229} am y yn x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Lluoswch -\frac{11}{85} â \frac{518}{229} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Adio \frac{147}{85} at -\frac{5698}{19465} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=\frac{329}{229}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 40, lluoswm cyffredin lleiaf 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi 10 a 5 i gael 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 50 â x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi -4 a 3 i gael -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -12 â 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tynnu 12 o -150 i gael -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tynnu 7 o 4 i gael -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Ychwanegu 35x at y ddwy ochr.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Cyfuno 50x a 35x i gael 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Ychwanegu 35y at y ddwy ochr.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Cyfuno -24y a 35y i gael 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Ychwanegu 162 at y ddwy ochr.

$$85x+11y=-15+162$$

Adio -15 a 162 i gael 147.

$$85x+11y=147$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tynnu 35 o'r ddwy ochr.

$$6x-10y=21-35$$

Tynnu 35 o 21 i gael -14.

$$6x-10y=-14$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 40, lluoswm cyffredin lleiaf 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi 10 a 5 i gael 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 50 â x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Lluosi -4 a 3 i gael -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -12 â 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Tynnu 12 o -150 i gael -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -7 â x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Tynnu 7 o 4 i gael -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 5 â -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Ychwanegu 35x at y ddwy ochr.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Cyfuno 50x a 35x i gael 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Ychwanegu 35y at y ddwy ochr.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Cyfuno -24y a 35y i gael 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Ychwanegu 162 at y ddwy ochr.

$$85x+11y=-15+162$$

Adio -15 a 162 i gael 147.

$$85x+11y=147$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Tynnu 35 o'r ddwy ochr.

$$6x-10y=21-35$$

Tynnu 35 o 21 i gael -14.

$$6x-10y=-14$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

I wneud 85x a 6x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 6 a holl dermau naill ochr yr ail â 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Symleiddio.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Tynnwch 510x-850y=-1190 o 510x+66y=882 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Adio 510x at -510x. Mae'r termau 510x a -510x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$66y+850y=882+1190$$

Adio 66y at 850y.

$$916y=882+1190$$

Adio 882 at 1190.

$$916y=2072$$

Rhannu’r ddwy ochr â 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Cyfnewidiwch \frac{518}{229} am y yn 6x-10y=-14. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Lluoswch -10 â \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Adio \frac{5180}{229} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$