Datrys {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tynnu 2 o -21 i gael -23.

$$9x-23-4y=0$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-4y=23$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tynnu 20 o 6 i gael -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Ychwanegu 14 at y ddwy ochr.

$$3x-25y=-30+14$$

Adio -30 a 14 i gael -16.

$$3x-25y=-16$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x-4y=23$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=4y+23$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Amnewid \frac{4y+23}{9} am x yn yr hafaliad arall, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Lluoswch 3 â \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Adio \frac{4y}{3} at -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Tynnu \frac{23}{3} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â -\frac{71}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Adio \frac{23}{9} at \frac{4}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tynnu 2 o -21 i gael -23.

$$9x-23-4y=0$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-4y=23$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tynnu 20 o 6 i gael -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Ychwanegu 14 at y ddwy ochr.

$$3x-25y=-30+14$$

Adio -30 a 14 i gael -16.

$$3x-25y=-16$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=3,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Tynnu 2 o -21 i gael -23.

$$9x-23-4y=0$$

Ychwanegu 23 at y ddwy ochr. Mae adio unrhyw beth at sero yn cyrraedd ei swm ei hun.

$$9x-4y=23$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 15, lluoswm cyffredin lleiaf 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -5 â 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Tynnu 20 o 6 i gael -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Ychwanegu 14 at y ddwy ochr.

$$3x-25y=-30+14$$

Adio -30 a 14 i gael -16.

$$3x-25y=-16$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

I wneud 9x a 3x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 3 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Symleiddio.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Tynnwch 27x-225y=-144 o 27x-12y=69 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Adio 27x at -27x. Mae'r termau 27x a -27x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-12y+225y=69+144$$

Adio -12y at 225y.

$$213y=69+144$$

Adio 69 at 144.

$$213y=213$$

Rhannu’r ddwy ochr â 213.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 3x-25y=-16. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$3x-25=-16$$

Adio 25 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=3$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=3,y=1$$