Datrys {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Adio -3 a 14 i gael 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tynnu 11 o'r ddwy ochr.

$$9x-8y=12-11$$

Tynnu 11 o 12 i gael 1.

$$9x-8y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tynnu 10 o -18 i gael -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Lluosi 1 a 12 i gael 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Adio 12 a 5 i gael 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Ychwanegu 28 at y ddwy ochr.

$$9y+2x=-17+28$$

Adio -17 a 28 i gael 11.

$$9y+2x=11$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$9x-8y=1$$

Adio 8y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$9x=8y+1$$

Rhannu’r ddwy ochr â 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Lluoswch \frac{1}{9} â 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Amnewid \frac{8y+1}{9} am x yn yr hafaliad arall, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Lluoswch 2 â \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Adio \frac{16y}{9} at 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Tynnu \frac{2}{9} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{97}{9}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Adio \frac{1}{9} at \frac{8}{9} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Adio -3 a 14 i gael 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tynnu 11 o'r ddwy ochr.

$$9x-8y=12-11$$

Tynnu 11 o 12 i gael 1.

$$9x-8y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tynnu 10 o -18 i gael -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Lluosi 1 a 12 i gael 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Adio 12 a 5 i gael 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Ychwanegu 28 at y ddwy ochr.

$$9y+2x=-17+28$$

Adio -17 a 28 i gael 11.

$$9y+2x=11$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=1,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 6, lluoswm cyffredin lleiaf 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Adio -3 a 14 i gael 11.

$$9x+11-8y=12$$

Tynnu 11 o'r ddwy ochr.

$$9x-8y=12-11$$

Tynnu 11 o 12 i gael 1.

$$9x-8y=1$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 12, lluoswm cyffredin lleiaf 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 3 â 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Tynnu 10 o -18 i gael -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Lluosi 1 a 12 i gael 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Adio 12 a 5 i gael 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Ychwanegu 28 at y ddwy ochr.

$$9y+2x=-17+28$$

Adio -17 a 28 i gael 11.

$$9y+2x=11$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

I wneud 9x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Symleiddio.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Tynnwch 18x+81y=99 o 18x-16y=2 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Adio 18x at -18x. Mae'r termau 18x a -18x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-16y-81y=2-99$$

Adio -16y at -81y.

$$-97y=2-99$$

Adio 2 at -99.

$$-97y=-97$$

Rhannu’r ddwy ochr â -97.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x+9y=11. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+9=11$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=2$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=1$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=1,y=1$$