Datrys {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tynnu 4 o -5 i gael -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Ychwanegu 9 at y ddwy ochr.

$$2x+3y=-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$2x+3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=5$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2x+3y=8$$

Tynnu 3y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-3y+8$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Amnewid -\frac{3y}{2}+4 am x yn yr hafaliad arall, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Lluoswch -1 â -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Adio \frac{3y}{2} at y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Adio 4 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=\frac{18}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{18}{5} am y yn x=-\frac{3}{2}y+4. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Lluoswch -\frac{3}{2} â \frac{18}{5} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Adio 4 at -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tynnu 4 o -5 i gael -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Ychwanegu 9 at y ddwy ochr.

$$2x+3y=-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$2x+3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=5$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Tynnu 4 o -5 i gael -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Ychwanegu 9 at y ddwy ochr.

$$2x+3y=-1+9$$

Adio -1 a 9 i gael 8.

$$2x+3y=8$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=5$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

I wneud 2x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Symleiddio.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Tynnwch -2x+2y=10 o -2x-3y=-8 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Adio -2x at 2x. Mae'r termau -2x a 2x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-3y-2y=-8-10$$

Adio -3y at -2y.

$$-5y=-8-10$$

Adio -8 at -10.

$$-5y=-18$$

Rhannu’r ddwy ochr â -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Cyfnewidiwch \frac{18}{5} am y yn -x+y=5. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Tynnu \frac{18}{5} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$