Datrys {c}{4x-y=-9}{2x+2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 4 x - y = - 9 } \\ { 2 x + 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$4x-y=-9$$

Adio y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$4x=y-9$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y-9\right)$$

Lluoswch \frac{1}{4} â y-9.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}$$

Amnewid \frac{-9+y}{4} am x yn yr hafaliad arall, 2x+2y=-2.

$$2\left(\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}\right)+2y=-2$$

Lluoswch 2 â \frac{-9+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+2y=-2$$

Adio \frac{y}{2} at 2y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=-2$$

Adio \frac{9}{2} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{5}{2}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn x=\frac{1}{4}y-\frac{9}{4}. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{1-9}{4}$$

Adio -\frac{9}{4} at \frac{1}{4} drwy ddod o hyd i enwadur cyffredin ac ychwanegu’r rhifiaduron. Yna, lleihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4\times 2-\left(-2\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{10}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-2\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-2\right)\\-\frac{1}{5}\left(-9\right)+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=-2,y=1$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-y=-9,2x+2y=-2$$

I wneud 4x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(-9\right),4\times 2x+4\times 2y=4\left(-2\right)$$

Symleiddio.

$$8x-2y=-18,8x+8y=-8$$

Tynnwch 8x+8y=-8 o 8x-2y=-18 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$8x-8x-2y-8y=-18+8$$

Adio 8x at -8x. Mae'r termau 8x a -8x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-2y-8y=-18+8$$

Adio -2y at -8y.

$$-10y=-18+8$$

Adio -18 at 8.

$$-10y=-10$$

Rhannu’r ddwy ochr â -10.

$$y=1$$

Cyfnewidiwch 1 am y yn 2x+2y=-2. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+2=-2$$

Tynnu 2 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=-4$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=-2$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=-2,y=1$$