Datrys {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer y, x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer y drwy ynysu y ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$2y+5x=12$$

Tynnu 5x o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2y=-5x+12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

Lluoswch \frac{1}{2} â -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

Amnewid -\frac{5x}{2}+6 am y yn yr hafaliad arall, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

Lluoswch -6 â -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

Adio 15x at -2x.

$$13x-36=-24$$

Adio 36 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$13x=12$$

Rhannu’r ddwy ochr â 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{12}{13} am x yn y=-\frac{5}{2}x+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

Lluoswch -\frac{5}{2} â \frac{12}{13} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

Adio 6 at -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics y a x.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

I wneud 2y a -6y yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -6 a holl dermau naill ochr yr ail â 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

Symleiddio.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

Tynnwch -12y-4x=-48 o -12y-30x=-72 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

Adio -12y at 12y. Mae'r termau -12y a 12y yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-30x+4x=-72+48$$

Adio -30x at 4x.

$$-26x=-72+48$$

Adio -72 at 48.

$$-26x=-24$$

Rhannu’r ddwy ochr â -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

Cyfnewidiwch \frac{12}{13} am x yn -6y-2x=-24. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer y yn uniongyrchol.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

Lluoswch -2 â \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

Adio \frac{24}{13} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$