Datrys {c}{10(x+3y)-2(7x+8y)=-12}{14x-18y-4(x-18y)=0}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 10 ( x + 3 y ) - 2 ( 7 x + 8 y ) = - 12 } \\ { 14 x - 18 y - 4 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Cyfuno 10x a -14x i gael -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Cyfuno 30y a -16y i gael 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Cyfuno 14x a -4x i gael 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Cyfuno -18y a 72y i gael 54y.

$$10x+54y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-4x+14y=-12$$

Tynnu 14y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-4x=-14y-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-14y-12\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{4} â -14y-12.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

Amnewid \frac{7y}{2}+3 am x yn yr hafaliad arall, 10x+54y=0.

$$10\left(\frac{7}{2}y+3\right)+54y=0$$

Lluoswch 10 â \frac{7y}{2}+3.

$$35y+30+54y=0$$

Adio 35y at 54y.

$$89y+30=0$$

Tynnu 30 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$89y=-30$$

Rhannu’r ddwy ochr â 89.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{89} am y yn x=\frac{7}{2}y+3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

Lluoswch \frac{7}{2} â -\frac{30}{89} drwy luosi'r rhifiadur â’r rhifiadur a'r enwadur â’r enwadur. Yna, dylech leihau’r ffracsiwn i’r termau isaf os yn bosibl.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

Adio 3 at -\frac{105}{89}.

$$x=\frac{162}{89}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Cyfuno 10x a -14x i gael -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Cyfuno 30y a -16y i gael 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Cyfuno 14x a -4x i gael 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Cyfuno -18y a 72y i gael 54y.

$$10x+54y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{14}{-4\times 54-14\times 10}\\-\frac{10}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{4}{-4\times 54-14\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}&\frac{7}{178}\\\frac{5}{178}&\frac{1}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}\left(-12\right)\\\frac{5}{178}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 10 â x+3y.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -2 â 7x+8y.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

Cyfuno 10x a -14x i gael -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

Cyfuno 30y a -16y i gael 14y.

$$-4x+14y=-12$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -4 â x-18y.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

Cyfuno 14x a -4x i gael 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

Cyfuno -18y a 72y i gael 54y.

$$10x+54y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

I wneud -4x a 10x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 10 a holl dermau naill ochr yr ail â -4.

$$10\left(-4\right)x+10\times 14y=10\left(-12\right),-4\times 10x-4\times 54y=0$$

Symleiddio.

$$-40x+140y=-120,-40x-216y=0$$

Tynnwch -40x-216y=0 o -40x+140y=-120 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-40x+40x+140y+216y=-120$$

Adio -40x at 40x. Mae'r termau -40x a 40x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$140y+216y=-120$$

Adio 140y at 216y.

$$356y=-120$$

Rhannu’r ddwy ochr â 356.

$$y=-\frac{30}{89}$$

Cyfnewidiwch -\frac{30}{89} am y yn 10x+54y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$10x+54\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

Lluoswch 54 â -\frac{30}{89}.

$$10x-\frac{1620}{89}=0$$

Adio \frac{1620}{89} at ddwy ochr yr hafaliad.

$$10x=\frac{1620}{89}$$

Rhannu’r ddwy ochr â 10.

$$x=\frac{162}{89}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$