Datrys {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$-9x+y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-9x+y-2x=0$$

Cyfuno -9x a -2x i gael -11x.

$$-11x+y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Cyfuno -6x a -2x i gael -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$-8x-3y+6y=0$$

Cyfuno -3y a 6y i gael 3y.

$$-8x+3y=0$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-11x+y=0$$

Tynnu y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-11x=-y$$

Rhannu’r ddwy ochr â -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

Lluoswch -\frac{1}{11} â -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

Amnewid \frac{y}{11} am x yn yr hafaliad arall, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

Lluoswch -8 â \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

Adio -\frac{8y}{11} at 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{25}{11}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn x=\frac{1}{11}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$-9x+y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-9x+y-2x=0$$

Cyfuno -9x a -2x i gael -11x.

$$-11x+y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Cyfuno -6x a -2x i gael -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$-8x-3y+6y=0$$

Cyfuno -3y a 6y i gael 3y.

$$-8x+3y=0$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=0$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

Tynnu 2y o'r ddwy ochr.

$$-9x+3y-2y=2x$$

Cyfuno 3y a -2y i gael y.

$$-9x+y=2x$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-9x+y-2x=0$$

Cyfuno -9x a -2x i gael -11x.

$$-11x+y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi -3 â 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 2 â x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

Tynnu 2x o'r ddwy ochr.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

Cyfuno -6x a -2x i gael -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

Ychwanegu 6y at y ddwy ochr.

$$-8x-3y+6y=0$$

Cyfuno -3y a 6y i gael 3y.

$$-8x+3y=0$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

I wneud -11x a -8x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -8 a holl dermau naill ochr yr ail â -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

Symleiddio.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

Tynnwch 88x-33y=0 o 88x-8y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

Adio 88x at -88x. Mae'r termau 88x a -88x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y+33y=0$$

Adio -8y at 33y.

$$25y=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 25.

$$y=0$$

Cyfnewidiwch 0 am y yn -8x+3y=0. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-8x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â -8.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=0$$