Datrys {c}{-2x-4y=-12}{2x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 x - 4 y = - 12 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=0$$

$$y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$-2x-4y=-12$$

Adio 4y at ddwy ochr yr hafaliad.

$$-2x=4y-12$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(4y-12\right)$$

Lluoswch -\frac{1}{2} â -12+4y.

$$x=-2y+6$$

Amnewid -2y+6 am x yn yr hafaliad arall, 2x+3y=9.

$$2\left(-2y+6\right)+3y=9$$

Lluoswch 2 â -2y+6.

$$-4y+12+3y=9$$

Adio -4y at 3y.

$$-y+12=9$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-y=-3$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn x=-2y+6. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-2\times 3+6$$

Lluoswch -2 â 3.

$$x=-6+6$$

Adio 6 at -6.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\9\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-12\right)+2\times 9\\-\left(-12\right)-9\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=0,y=3$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$-2x-4y=-12,2x+3y=9$$

I wneud -2x a 2x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â 2 a holl dermau naill ochr yr ail â -2.

$$2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-12\right),-2\times 2x-2\times 3y=-2\times 9$$

Symleiddio.

$$-4x-8y=-24,-4x-6y=-18$$

Tynnwch -4x-6y=-18 o -4x-8y=-24 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x-8y+6y=-24+18$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-8y+6y=-24+18$$

Adio -8y at 6y.

$$-2y=-24+18$$

Adio -24 at 18.

$$-2y=-6$$

Rhannu’r ddwy ochr â -2.

$$y=3$$

Cyfnewidiwch 3 am y yn 2x+3y=9. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$2x+3\times 3=9$$

Lluoswch 3 â 3.

$$2x+9=9$$

Tynnu 9 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$2x=0$$

Rhannu’r ddwy ochr â 2.

$$x=0$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=0,y=3$$