Datrys x/a+y/b=1text{and}x/b+y/a=1

$$\frac { x } { a } + \frac { y } { b } = 1 \text { and } \frac { x } { b } + \frac { y } { a } = 1$$

Datrys ar gyfer x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{ab}{a+b}\text{, }y=\frac{ab}{a+b}\text{, }&a\neq -b\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=b-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=b\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1$$

Tynnu \frac{y}{b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{a}x=\left(-\frac{1}{b}\right)y+1$$

Lluosi’r ddwy ochr â a.

$$x=a\left(\left(-\frac{1}{b}\right)y+1\right)$$

Lluoswch a â \frac{-y+b}{b}.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a$$

Amnewid \frac{a\left(-y+b\right)}{b} am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1.

$$\frac{1}{b}\left(\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\right)+\frac{1}{a}y=1$$

Lluoswch b^{-1} â \frac{a\left(-y+b\right)}{b}.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}\right)y+\frac{a}{b}+\frac{1}{a}y=1$$

Adio -\frac{ay}{b^{2}} at \frac{y}{a}.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}\right)y+\frac{a}{b}=1$$

Tynnu \frac{a}{b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}\right)y=\frac{b-a}{b}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}.

$$y=\frac{ab}{a+b}$$

Cyfnewidiwch \frac{ab}{a+b} am y yn x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)\times \frac{ab}{a+b}+a$$

Lluoswch -\frac{a}{b} â \frac{ab}{a+b}.

$$x=-\frac{a^{2}}{a+b}+a$$

Adio a at -\frac{a^{2}}{a+b}.

$$x=\frac{ab}{a+b}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}\right)}&-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}}\\-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}}&\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}&-\frac{ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}\\-\frac{ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}&\frac{ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab^{2}-ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}\\\frac{-ba^{2}+ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab}{a+b}\\\frac{ab}{a+b}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

I wneud \frac{x}{a} a \frac{x}{b} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â b^{-1} a holl dermau naill ochr yr ail â a^{-1}.

$$\frac{1}{b}\times \frac{1}{a}x+\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}y=\frac{1}{b},\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}y=\frac{1}{a}$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{ab}x+\frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{b},\frac{1}{ab}x+\frac{1}{a^{2}}y=\frac{1}{a}$$

Tynnwch \frac{1}{ab}x+\frac{1}{a^{2}}y=\frac{1}{a} o \frac{1}{ab}x+\frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{b} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{ab}x+\left(-\frac{1}{ab}\right)x+\frac{1}{b^{2}}y+\left(-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Adio \frac{x}{ba} at -\frac{x}{ba}. Mae'r termau \frac{x}{ba} a -\frac{x}{ba} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{b^{2}}y+\left(-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Adio \frac{y}{b^{2}} at -\frac{y}{a^{2}}.

$$\left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}.

$$y=\frac{ab}{a+b}$$

Cyfnewidiwch \frac{ba}{a+b} am y yn \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}\times \frac{ab}{a+b}=1$$

Lluoswch a^{-1} â \frac{ba}{a+b}.

$$\frac{1}{b}x+\frac{b}{a+b}=1$$

Tynnu \frac{b}{a+b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{b}x=\frac{a}{a+b}$$

Rhannu’r ddwy ochr â b^{-1}.

$$x=\frac{ab}{a+b}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$

Datrys ar gyfer x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{ab}{a+b}\text{, }y=\frac{ab}{a+b}\text{, }&|a|\neq |b|\text{ and }a\neq 0\text{ and }b\neq 0\\x=a-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=a\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1$$

Tynnu \frac{y}{b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{a}x=\left(-\frac{1}{b}\right)y+1$$

Lluosi’r ddwy ochr â a.

$$x=a\left(\left(-\frac{1}{b}\right)y+1\right)$$

Lluoswch a â \frac{-y+b}{b}.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a$$

Amnewid \frac{a\left(-y+b\right)}{b} am x yn yr hafaliad arall, \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1.

$$\frac{1}{b}\left(\left(-\frac{a}{b}\right)y+a\right)+\frac{1}{a}y=1$$

Lluoswch b^{-1} â \frac{a\left(-y+b\right)}{b}.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}\right)y+\frac{a}{b}+\frac{1}{a}y=1$$

Adio -\frac{ay}{b^{2}} at \frac{y}{a}.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}\right)y+\frac{a}{b}=1$$

Tynnu \frac{a}{b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\left(-\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}\right)y=\frac{b-a}{b}$$

Rhannu’r ddwy ochr â -\frac{a}{b^{2}}+\frac{1}{a}.

$$y=\frac{ab}{a+b}$$

Cyfnewidiwch \frac{ab}{a+b} am y yn x=\left(-\frac{a}{b}\right)y+a. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\left(-\frac{a}{b}\right)\times \frac{ab}{a+b}+a$$

Lluoswch -\frac{a}{b} â \frac{ab}{a+b}.

$$x=-\frac{a^{2}}{a+b}+a$$

Adio a at -\frac{a^{2}}{a+b}.

$$x=\frac{ab}{a+b}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{a}&\frac{1}{b}\\\frac{1}{b}&\frac{1}{a}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}\right)}&-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}}\\-\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}}&\frac{1}{a\left(\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}-\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}&-\frac{ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}\\-\frac{ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}&\frac{ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab^{2}-ba^{2}}{b^{2}-a^{2}}\\\frac{-ba^{2}+ab^{2}}{b^{2}-a^{2}}\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{ab}{a+b}\\\frac{ab}{a+b}\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$\frac{1}{a}x+\frac{1}{b}y=1,\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1$$

I wneud \frac{x}{a} a \frac{x}{b} yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â b^{-1} a holl dermau naill ochr yr ail â a^{-1}.

$$\frac{1}{b}\times \frac{1}{a}x+\frac{1}{b}\times \frac{1}{b}y=\frac{1}{b},\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}\times \frac{1}{a}y=\frac{1}{a}$$

Symleiddio.

$$\frac{1}{ab}x+\frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{b},\frac{1}{ab}x+\frac{1}{a^{2}}y=\frac{1}{a}$$

Tynnwch \frac{1}{ab}x+\frac{1}{a^{2}}y=\frac{1}{a} o \frac{1}{ab}x+\frac{1}{b^{2}}y=\frac{1}{b} trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$\frac{1}{ab}x+\left(-\frac{1}{ab}\right)x+\frac{1}{b^{2}}y+\left(-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Adio \frac{x}{ba} at -\frac{x}{ba}. Mae'r termau \frac{x}{ba} a -\frac{x}{ba} yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$\frac{1}{b^{2}}y+\left(-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Adio \frac{y}{b^{2}} at -\frac{y}{a^{2}}.

$$\left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\right)y=\frac{1}{b}-\frac{1}{a}$$

Rhannu’r ddwy ochr â \frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}.

$$y=\frac{ab}{a+b}$$

Cyfnewidiwch \frac{ba}{a+b} am y yn \frac{1}{b}x+\frac{1}{a}y=1. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$\frac{1}{b}x+\frac{1}{a}\times \frac{ab}{a+b}=1$$

Lluoswch a^{-1} â \frac{ba}{a+b}.

$$\frac{1}{b}x+\frac{b}{a+b}=1$$

Tynnu \frac{b}{a+b} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{1}{b}x=\frac{a}{a+b}$$

Rhannu’r ddwy ochr â b^{-1}.

$$x=\frac{ab}{a+b}$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=\frac{ab}{a+b},y=\frac{ab}{a+b}$$