Datrys x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 21, lluoswm cyffredin lleiaf 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 14.

$$-x+42y=364$$

I ddatrys pâr o hafaliadau gan ddefnyddio amnewid, yn gyntaf datryswch un o'r hafaliadau ar gyfer un o'r newidynnau. Yna amnewidiwch y canlyniad am y newidyn hwnnw yn yr hafaliad arall.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Dewiswch un o'r hafaliadau a’i ddatrys ar gyfer x drwy ynysu x ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$3x+7y=105$$

Tynnu 7y o ddwy ochr yr hafaliad.

$$3x=-7y+105$$

Rhannu’r ddwy ochr â 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Lluoswch \frac{1}{3} â -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Amnewid -\frac{7y}{3}+35 am x yn yr hafaliad arall, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Lluoswch -1 â -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Adio \frac{7y}{3} at 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Adio 35 at ddwy ochr yr hafaliad.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Rhannu dwy ochr hafaliad â \frac{133}{3}, sydd yr un peth â lluosi’r ddwy ochr â chilydd y ffracsiwn.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn x=-\frac{7}{3}y+35. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Lluoswch -\frac{7}{3} â 9.

$$x=-21+35$$

Adio 35 at -21.

$$x=14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 21, lluoswm cyffredin lleiaf 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 14.

$$-x+42y=364$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly mae modd ailysgrifennu’r hafaliad matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=14,y=9$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 21, lluoswm cyffredin lleiaf 7,3.

$$3x+7y=105$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 14.

$$-x+42y=364$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

I wneud 3x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Symleiddio.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Tynnwch -3x+126y=1092 o -3x-7y=-105 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Adio -3x at 3x. Mae'r termau -3x a 3x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Adio -7y at -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Adio -105 at -1092.

$$-133y=-1197$$

Rhannu’r ddwy ochr â -133.

$$y=9$$

Cyfnewidiwch 9 am y yn -x+42y=364. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+42\times 9=364$$

Lluoswch 42 â 9.

$$-x+378=364$$

Tynnu 378 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-14$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=14$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=14,y=9$$