Datrys x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Datrys ar gyfer x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Amnewid

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,4.

$$4x=5y$$

Rhannu’r ddwy ochr â 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Lluoswch \frac{1}{4} â 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Amnewid \frac{5y}{4} am x yn yr hafaliad arall, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Adio -\frac{5y}{4} at y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Lluosi’r ddwy ochr â -4.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn x=\frac{5}{4}y. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Lluoswch \frac{5}{4} â 12.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Matricsau

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,4.

$$4x=5y$$

Tynnu 5y o'r ddwy ochr.

$$4x-5y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$y=x-3$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=-3$$

Rhowch yr hafaliadau yn y ffurf safonol ac yna defnyddio’r matricsau i ddatrys y system o hafaliadau.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Ysgrifennu’r hafaliadau ar ffurf matrics.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch chwith yr hafaliad gan y matrics gwrthdro o \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Cynnyrch matrics a'i wrthdro ydy'r matrics hunaniaeth.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluoswch y matricsau ar ochr chwith yr arwydd hafal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Ar gyfer y matrics 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), y matrics gwrthdro yw \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), felly gellir ailysgrifennu hafaliad y matrics fel problem lluosi matrics.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Lluosi’r matricsau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Gwneud y symiau.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Echdynnu yr elfennau matrics x a y.

$$x=15,y=12$$

Camau gan Ddefnyddio Dileu

Ystyriwch yr hafaliad cyntaf. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 20, lluoswm cyffredin lleiaf 5,4.

$$4x=5y$$

Tynnu 5y o'r ddwy ochr.

$$4x-5y=0$$

Ystyriwch yr ail hafaliad. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad â 3.

$$y=x-3$$

Tynnu x o'r ddwy ochr.

$$y-x=-3$$

Er mwyn datrys drwy ddileu, mae’n rhaid i gyfernodau un o'r newidynnau fod yr un peth yn y ddau hafaliad fel bod y newidyn yn cael ei ddiddymu pan fydd un hafaliad yn cael ei dynnu o’r llall.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

I wneud 4x a -x yn gyfartal, lluoswch yr holl dermau ar bob ochr yr hafaliad cyntaf â -1 a holl dermau naill ochr yr ail â 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Symleiddio.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Tynnwch -4x+4y=-12 o -4x+5y=0 trwy dynnu termau sydd yr un fath ar bob ochr yr arwydd hafal.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Adio -4x at 4x. Mae'r termau -4x a 4x yn diddymu ei gilydd, gan adael hafaliad gyda dim ond un newidyn y gellir ei datrys.

$$5y-4y=12$$

Adio 5y at -4y.

$$y=12$$

Cyfnewidiwch 12 am y yn -x+y=-3. Am fod yr hafaliad canlynol yn cynnwys dim ond un newidyn, gallwch ddatrys ar gyfer x yn uniongyrchol.

$$-x+12=-3$$

Tynnu 12 o ddwy ochr yr hafaliad.

$$-x=-15$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$x=15$$

Mae’r system wedi’i datrys nawr.

$$x=15,y=12$$