Datrys 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Datrys ar gyfer x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Camau i Ddefnyddio Ffactorio Drwy Grwpio

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -15,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4x\left(x+15\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4x+60 â 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a 75 i gael 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a \frac{1}{4} i gael 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Cyfuno 300x a 15x i gael 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Tynnu 315x o'r ddwy ochr.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Cyfuno 300x a -315x i gael -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Ad-drefnu'r polynomial i’w roi yn y ffurf safonol. Rhowch y termau yn y drefn o'r pŵer uchaf i'r isaf.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

I ddatrys yr hafaliad, dylech ffactorio'r ochr chwith drwy grwpio. Yn gyntaf, mae angen ailysgrifennu'r ochr chwith fel -x^{2}+ax+bx+4500. I ddod o hyd i a a b, gosodwch system i'w datrys.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Gan fod ab yn negatif, mae gan a a b yr arwyddion croes. Gan fod a+b yn negatif, mae gan y rhif negatif werth absoliwt mwy na'r positif. Rhestrwch bob pâr cyfanrif o'r fath sy'n rhoi'r cynnyrch -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Cyfrifo'r swm ar gyfer pob pâr.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Yr ateb yw'r pâr sy'n rhoi'r swm -15.

$$a=60 b=-75$$

Ailysgrifennwch -x^{2}-15x+4500 fel \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Ni ddylech ffactorio x yn y cyntaf a 75 yn yr ail grŵp.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Ffactoriwch y term cyffredin -x+60 allan drwy ddefnyddio'r briodwedd ddosbarthol.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

I ddod o hyd i atebion hafaliad, datryswch -x+60=0 a x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Camau gan Ddefnyddio’r Fformiwla Cwadratig

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -15,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4x\left(x+15\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4x+60 â 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a 75 i gael 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a \frac{1}{4} i gael 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Cyfuno 300x a 15x i gael 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Tynnu 315x o'r ddwy ochr.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Cyfuno 300x a -315x i gael -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Mae modd datrys pob hafaliad sydd yn y ffurf ax^{2}+bx+c=0 drwy ddefnyddio'r fformiwla cwadratig: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Mae'r fformiwla cwadratig yn rhoi dau ateb, pan fydd ± yn adio â’r llall pan fydd yn tynnu.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Mae’r hafaliad hwn yn y ffurf safonol: ax^{2}+bx+c=0. Amnewidiwch -1 am a, -15 am b, a 4500 am c yn y fformiwla gwadratig, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Sgwâr -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch -4 â -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch 4 â 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Adio 225 at 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Cymryd isradd 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Gwrthwyneb -15 yw 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Lluoswch 2 â -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{15±135}{-2} pan fydd ± yn plws. Adio 15 at 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Rhannwch 150 â -2.

$$x=-75$$

Datryswch yr hafaliad x=\frac{15±135}{-2} pan fydd ± yn minws. Tynnu 135 o 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Rhannwch -120 â -2.

$$x=60$$

Mae’r hafaliad wedi’i ddatrys nawr.

$$x=-75 x=60$$

Camau ar Gyfer Cwblhau'r Sgwâr

All y newidyn x ddim fod yn hafal i unrhyw un o’r gwerthoedd -15,0 gan nad ydy rhannu â sero wedi’i ddiffinio. Lluoswch ddwy ochr yr hafaliad wrth 4x\left(x+15\right), lluoswm cyffredin lleiaf x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi 4x+60 â 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a 75 i gael 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Lluosi 4 a \frac{1}{4} i gael 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Defnyddio’r briodwedd ddosbarthu i luosi x â x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Cyfuno 300x a 15x i gael 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Tynnu 315x o'r ddwy ochr.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Cyfuno 300x a -315x i gael -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Tynnu x^{2} o'r ddwy ochr.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Tynnu 4500 o'r ddwy ochr. Mae tynnu unrhyw beth o sero’n rhoi negydd y swm.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Mae modd datrys hafaliadau cwadratig fel hwn drwy gwblhau’r sgwâr. Er mwyn cwblhau’r sgwâr, yn gyntaf mae’n rhaid i'r hafaliad fod ar ffurf x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Rhannu’r ddwy ochr â -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Mae rhannu â -1 yn dad-wneud lluosi â -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Rhannwch -15 â -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Rhannwch -4500 â -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Rhannwch 15, cyfernod y term x, â 2 i gael \frac{15}{2}. Yna ychwanegwch sgwâr \frac{15}{2} at ddwy ochr yr hafaliad. Mae'r cam hwn yn gwneud ochr chwith yr hafaliad yn sgwâr perffaith.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Sgwariwch \frac{15}{2} drwy sgwario'r rhifiadur ag enwadur y ffracsiwn.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Adio 4500 at \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Ffactora x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Yn gyffredinol, pan fydd x^{2}+bx+c yn sgwâr perffaith, mae modd ei ffactora bob amser fel \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Cymrwch isradd dwy ochr yr hafaliad.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Symleiddio.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Tynnu \frac{15}{2} o ddwy ochr yr hafaliad.

$$x=60 x=-75$$