关于 x 的微分
-\sin(x)
求值
\cos(x)
图表
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\cos(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}\right)
对于函数 f\left(x\right)，导数是指当 h 无限趋于 0 时 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的极限，如果该极限存在的话。
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}
使用和的余弦公式。
\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(x)\sin(h)}{h}
因式分解出 \cos(x)。
\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
改写该极限。
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
当计算 h 趋近于 0 时的极限时，使用 x 是一个常数这一事实。
\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x)
极限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
要求值极限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}，首先将分子和分母同时乘以 \cos(h)+1。
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
求 \cos(h)+1 与 \cos(h)-1 的乘积。
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
使用勾股定理。
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
改写该极限。
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
极限 \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} 为 1。
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
运用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 处是连续的这一事实。
-\sin(x)
将值 0 替换到表达式 \cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(x) 中。