解決z^6-z^3+1=0 |Microsoft數學求解器

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

解 z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

使用二次方程式公式的步驟

以 t 代入 z^{3}。

$$t^{2}-t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 1 取代 a、以 -1 取代 b 並以 1 取 c。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

計算。

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}。

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

因為 z=t^{3}，解決每個 t 的方程式可得到解。

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$