Solve {8x+2y=46}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{22}{5} = 4\frac{2}{5} = 4.4$$

$$y = \frac{27}{5} = 5\frac{2}{5} = 5.4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$8x+2y=46$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$8x=-2y+46$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)$$

\frac{1}{8} 乘上 -2y+46。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}$$

在另一個方程式 7x+3y=47 中以 \frac{-y+23}{4} 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47$$

7 乘上 \frac{-y+23}{4}。

$$-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47$$

將 -\frac{7y}{4} 加到 3y。

$$\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47$$

從方程式兩邊減去 \frac{161}{4}。

$$\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{27}{5}$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4} 中以 \frac{27}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{27}{5}+\frac{23}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 \frac{27}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}$$

將 \frac{23}{4} 與 -\frac{27}{20} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{22}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$8x+2y=46,7x+3y=47$$

讓 8x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 8。

$$7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47$$

化簡。

$$56x+14y=322,56x+24y=376$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 56x+14y=322 減去 56x+24y=376。

$$56x-56x+14y-24y=322-376$$

將 56x 加到 -56x。 56x 和 -56x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y-24y=322-376$$

將 14y 加到 -24y。

$$-10y=322-376$$

將 322 加到 -376。

$$-10y=-54$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=\frac{27}{5}$$

在 7x+3y=47 中以 \frac{27}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+3\times \frac{27}{5}=47$$

3 乘上 \frac{27}{5}。

$$7x+\frac{81}{5}=47$$

從方程式兩邊減去 \frac{81}{5}。

$$7x=\frac{154}{5}$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{22}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}$$