解決z^2-3z+4/4=0 |Microsoft數學求解器

$$z ^ { 2 } - 3 z + \frac { 4 } { 4 } = 0$$

解 z

$$z = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0.381966011$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$z^{2}-3z+1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 1 代入 c。

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

對 -3 平方。

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

將 9 加到 -4。

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

-3 的相反數是 3。

$$z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}。 將 3 加到 \sqrt{5}。

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 z=\frac{3±\sqrt{5}}{2}。 從 3 減去 \sqrt{5}。

$$z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$z^{2}-3z+1=0$$

從方程式兩邊減去 1。

$$z^{2}-3z+1-1=-1$$

從 1 減去本身會剩下 0。

$$z^{2}-3z=-1$$

將 -3 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{2}。接著，將 -\frac{3}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$z^{2}-3z+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

-\frac{3}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

將 -1 加到 \frac{9}{4}。

$$z^{2}-3z+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

因數分解 z^{2}-3z+\frac{9}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

化簡。

$$z-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} z-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$z=\frac{\sqrt{5}+3}{2} z=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$