解決y=4/3x-28/3;quady=2x+8 |Microsoft數學求解器

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

解 y、x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{4}{3}x。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

將 \frac{4x}{3} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

在另一個方程式 y-2x=8 中以 \frac{-28+4x}{3} 代入 y在方程式。

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

將 \frac{4x}{3} 加到 -2x。

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

將 \frac{28}{3} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-26$$

在 y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3} 中以 -26 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

\frac{4}{3} 乘上 -26。

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

將 -\frac{28}{3} 與 -\frac{104}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=-44$$

現已成功解出系統。

$$y=-44,x=-26$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{4}{3}x。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-44,x=-26$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{4}{3}x。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 2x。

$$y-2x=8$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} 減去 y-2x=8。

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

將 -\frac{4x}{3} 加到 2x。

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

將 -\frac{28}{3} 加到 -8。

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-26$$

在 y-2x=8 中以 -26 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y-2\left(-26\right)=8$$

-2 乘上 -26。

$$y+52=8$$

從方程式兩邊減去 52。

$$y=-44$$

現已成功解出系統。

$$y=-44,x=-26$$