解決y=1/3x;quady=60-3x |Microsoft數學求解器

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

解 y、x

$$x=18$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=60$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

將 \frac{x}{3} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{1}{3}x$$

在另一個方程式 y+3x=60 中以 \frac{x}{3} 代入 y在方程式。

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

將 \frac{x}{3} 加到 3x。

$$\frac{10}{3}x=60$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=18$$

在 y=\frac{1}{3}x 中以 18 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

\frac{1}{3} 乘上 18。

$$y=6$$

現已成功解出系統。

$$y=6,x=18$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=60$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=6,x=18$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{3}x。

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

考慮第二個方程式。 新增 3x 至兩側。

$$y+3x=60$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 y-\frac{1}{3}x=0 減去 y+3x=60。

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

將 -\frac{x}{3} 加到 -3x。

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=18$$

在 y+3x=60 中以 18 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y+3\times 18=60$$

3 乘上 18。

$$y+54=60$$

從方程式兩邊減去 54。

$$y=6$$

現已成功解出系統。

$$y=6,x=18$$