解決x=-16x^2+81x+5 |Microsoft數學求解器

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5.061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0.061737691$$

使用二次方程式公式的步驟

新增 16x^{2} 至兩側。

$$x+16x^{2}=81x+5$$

從兩邊減去 81x。

$$x+16x^{2}-81x=5$$

合併 x 和 -81x 以取得 -80x。

$$-80x+16x^{2}=5$$

從兩邊減去 5。

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$16x^{2}-80x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 16 代入 a，將 -80 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

對 -80 平方。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-4 乘上 16。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

-64 乘上 -5。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

將 6400 加到 320。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

取 6720 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

-80 的相反數是 80。

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

2 乘上 16。

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}。 將 80 加到 8\sqrt{105}。

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

80+8\sqrt{105} 除以 32。

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}。 從 80 減去 8\sqrt{105}。

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

80-8\sqrt{105} 除以 32。

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

配方法的步驟

新增 16x^{2} 至兩側。

$$x+16x^{2}=81x+5$$

從兩邊減去 81x。

$$x+16x^{2}-81x=5$$

合併 x 和 -81x 以取得 -80x。

$$-80x+16x^{2}=5$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$16x^{2}-80x=5$$

將兩邊同時除以 16。

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

除以 16 可以取消乘以 16 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

-80 除以 16。

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

將 -5 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{2}。接著，將 -\frac{5}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

將 \frac{5}{16} 與 \frac{25}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

因數分解 x^{2}-5x+\frac{25}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$