Solve x-2x^2=8

$$x - 2 x ^ { 2 } = 8$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}\approx 0.25-1.984313483i$$

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}\approx 0.25+1.984313483i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-2x^{2}+x=8$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-2x^{2}+x-8=8-8$$

從 8 減去本身會剩下 0。

$$-2x^{2}+x-8=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -2 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -8 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 乘上 -2。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 乘上 -8。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-2\right)}$$

將 1 加到 -64。

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-2\right)}$$

取 -63 的平方根。

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-2\right)}$$

2 乘上 -2。

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}。 將 -1 加到 3i\sqrt{7}。

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-4}$$

-1+3i\sqrt{7} 除以 -4。

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}。 從 -1 減去 3i\sqrt{7}。

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-4}$$

-1-3i\sqrt{7} 除以 -4。

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-2x^{2}+x=8$$

將兩邊同時除以 -2。

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{8}{-2}$$

除以 -2 可以取消乘以 -2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{8}{-2}$$

1 除以 -2。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{8}{-2}$$

8 除以 -2。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-4$$

將 -\frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{4}。接著，將 -\frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-4+\frac{1}{16}$$

將 -4 加到 \frac{1}{16}。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{63}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

將 \frac{1}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$