Solve x^2-x-30=0

$$x ^ { 2 } - x - 30 = 0$$

解 x

$$x=-5$$

$$x=6$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}-x-30 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=-30$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -30 的所有此類整數組合。

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-6 b=5$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-6=0 和 x+5=0。

$$x=6 x=-5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-30。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -30 的所有此類整數組合。

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-6 b=5$$

將 x^{2}-x-30 重寫為 \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)。

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

對第一個與第二個群組中的 5 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-6=0 和 x+5=0。

$$x=6 x=-5$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-x-30=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -30 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-30\right)}}{2}$$

-4 乘上 -30。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2}$$

將 1 加到 120。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2}$$

取 121 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±11}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±11}{2}。 將 1 加到 11。

$$x=\frac{12}{2}$$

12 除以 2。

$$x=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±11}{2}。 從 1 減去 11。

$$x=-\frac{10}{2}$$

-10 除以 2。

$$x=-5$$

現已成功解出方程式。

$$x=6 x=-5$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-x-30=0$$

將 30 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}-x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

從 -30 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-x=-\left(-30\right)$$

從 0 減去 -30。

$$x^{2}-x=30$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

將 30 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=6 x=-5$$