Solve x^2-25x+625=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 625 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}\approx 12.5+21.650635095i$$

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}\approx 12.5-21.650635095i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-25x+625=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -25 代入 b，以及將 625 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 625}}{2}$$

對 -25 平方。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 625}}{2}$$

-4 乘上 625。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-2500}}{2}$$

將 625 加到 -2500。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{-1875}}{2}$$

取 -1875 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-25\right)±25\sqrt{3}i}{2}$$

-25 的相反數是 25。

$$x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}。 將 25 加到 25i\sqrt{3}。

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{25±25\sqrt{3}i}{2}。 從 25 減去 25i\sqrt{3}。

$$x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-25x+625=0$$

從方程式兩邊減去 625。

$$x^{2}-25x+625-625=-625$$

從 625 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-25x=-625$$

將 -25 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{25}{2}。接著，將 -\frac{25}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-625+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

-\frac{25}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-625+\frac{625}{4}$$

將 -625 加到 \frac{625}{4}。

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-\frac{1875}{4}$$

因數分解 x^{2}-25x+\frac{625}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=-\frac{1875}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1875}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{25}{2}=\frac{25\sqrt{3}i}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{25\sqrt{3}i}{2}$$

將 \frac{25}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{25+25\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-25\sqrt{3}i+25}{2}$$