Solve x^2-2x-9=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 9 = 0$$

解 x

$$x=\sqrt{10}+1\approx 4.16227766$$

$$x=1-\sqrt{10}\approx -2.16227766$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-2x-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

-4 乘上 -9。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+36}}{2}$$

將 4 加到 36。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40}}{2}$$

取 40 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}。 將 2 加到 2\sqrt{10}。

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{2}$$

2+2\sqrt{10} 除以 2。

$$x=\sqrt{10}+1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}。 從 2 減去 2\sqrt{10}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{2}$$

2-2\sqrt{10} 除以 2。

$$x=1-\sqrt{10}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-2x-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$x^{2}-2x=9$$

將 -2 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -1。接著，將 -1 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-2x+1=9+1$$

將 9 加到 1。

$$x^{2}-2x+1=10$$

因數分解 x^{2}-2x+1。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-1\right)^{2}=10$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

化簡。

$$x-1=\sqrt{10} x-1=-\sqrt{10}$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$