Solve x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

解 x

$$x=6$$

$$x=7$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}-13x+42 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-13 ab=42$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 42 的所有此類整數組合。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

計算每個組合的總和。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

該解為總和為 -13 的組合。

$$a=-7 b=-6$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-7=0 和 x-6=0。

$$x=7 x=6$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx+42。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 42 的所有此類整數組合。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

計算每個組合的總和。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

該解為總和為 -13 的組合。

$$a=-7 b=-6$$

將 x^{2}-13x+42 重寫為 \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)。

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -6 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-7=0 和 x-6=0。

$$x=7 x=6$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}-13x+42=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 -13 代入 b，以及將 42 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

對 -13 平方。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

-4 乘上 42。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

將 169 加到 -168。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 的相反數是 13。

$$x=\frac{13±1}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{13±1}{2}。 將 13 加到 1。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 除以 2。

$$x=7$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{13±1}{2}。 從 13 減去 1。

$$x=\frac{12}{2}$$

12 除以 2。

$$x=6$$

現已成功解出方程式。

$$x=7 x=6$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}-13x+42=0$$

從方程式兩邊減去 42。

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

從 42 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}-13x=-42$$

將 -13 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{13}{2}。接著，將 -\frac{13}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

將 -42 加到 \frac{169}{4}。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

因數分解 x^{2}-13x+\frac{169}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

將 \frac{13}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=7 x=6$$