Solve x^2+x-56=0

$$x ^ { 2 } + x - 56 = 0$$

解 x

$$x=-8$$

$$x=7$$

使用因數分解的步驟

若要解方程式，請使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 對 x^{2}+x-56 進行因數分解。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=1 ab=-56$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -56 的所有此類整數組合。

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

計算每個組合的總和。

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

該解為總和為 1 的組合。

$$a=-7 b=8$$

使用取得的值，重寫因數分解過後的運算式 \left(x+a\right)\left(x+b\right)。

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-7=0 和 x+8=0。

$$x=7 x=-8$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-56。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=1 ab=1\left(-56\right)=-56$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -56 的所有此類整數組合。

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

計算每個組合的總和。

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

該解為總和為 1 的組合。

$$a=-7 b=8$$

將 x^{2}+x-56 重寫為 \left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right)。

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(8x-56\right)$$

對第一個與第二個群組中的 8 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-7\right)+8\left(x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(x+8\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-7=0 和 x+8=0。

$$x=7 x=-8$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$x^{2}+x-56=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -56 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-56\right)}}{2}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-56\right)}}{2}$$

-4 乘上 -56。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2}$$

將 1 加到 224。

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2}$$

取 225 的平方根。

$$x=\frac{-1±15}{2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±15}{2}。 將 -1 加到 15。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 除以 2。

$$x=7$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±15}{2}。 從 -1 減去 15。

$$x=-\frac{16}{2}$$

-16 除以 2。

$$x=-8$$

現已成功解出方程式。

$$x=7 x=-8$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$x^{2}+x-56=0$$

將 56 加到方程式的兩邊。

$$x^{2}+x-56-\left(-56\right)=-\left(-56\right)$$

從 -56 減去本身會剩下 0。

$$x^{2}+x=-\left(-56\right)$$

從 0 減去 -56。

$$x^{2}+x=56$$

將 1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{2}。接著，將 \frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=56+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=56+\frac{1}{4}$$

將 56 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{225}{4}$$

因數分解 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{15}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{2}。

$$x=7 x=-8$$